对于可逆反应A、B，反应的转化率由于受到化学平衡的限制而难以提高，采用反应分离耦合操作的方法就可以打破这一限制。设在一催化剂颗粒内部发生上述双组分可逆反应，同时也筛选出了某种吸附剂，使得A、B的吸附性能呈现较大差别，这样，我们就可以将催化剂与吸附剂掺混，然后采用逆流移动床来实现反应分离耦合操作。设吸附等温线为线性，反应关于固相浓度为一级，忽略颗粒内外的传质阻力和床层返混，则逆流移动床数学模型由以下方程描述式中，c和n分别表示流体和固体相的浓度，分别为流体和固体的运动速度，求： 
（1）解上述方程，给出浓度A、B的沿塔分布。 
（2）如果令，则二者分别表示床层任一截面上组分A、B的净流率。研究表明，只有当qA和qB的方向相反时，才能实现A、B的分离，此时边界上的间断条件表述为式中上标“＋”与“－”分别表示塔顶和塔底边界外部的值，根据上述条件确定流体相和固体相的出口浓度。 
（3）如果取以下参数计算相关的浓度分布并作图考察各参数变化的影响。

不同形状的催化剂颗粒上的反应-扩散问题可用以下方程描述

式中s为颗粒的形状指数，s=0为片形，s=1为长圆柱形，s=2为球形，D为内扩散系数，k为一级反应速率常数，h_m为外表面传质系数，c_b为流体相本体浓度。
（1）选择适当的特征尺度将问题无量纲化； 
（2）分别求取s=0，1，2时的粒内浓度分布；
（3）求催化剂有效系数与Thiele模数和Biot数之间的关系，并讨论这两个参数对的影响趋势。

设为矩阵A的特征值，试根据特征向量方程（2.4.6）证明Sylvester定理（2.5.24） 。

如图所示，两相互联接的搅拌釜中装有体积分别为V₁和V₂的溶液，初始时刻釜中溶质浓度分别为y₁₀与y₂₀，从t=0开始，两釜中的溶液以流量q通过管道泵送而相互交换，管道体积可以忽略，求两釜中的溶质浓度随时间的变化关系。

对于系数矩阵请用下述方法求矩阵函数expAt。
（1） 待定系数法； 
（2） lagrange插值法。

用矩阵解法求以下一阶线性微分方程组的通解，并将通解用实函数表示。

环形法兰上的散热问题可用以下方程描述式中k和h分别为法兰的导热系数和向周边环境的传热系数，T₀为环境温度。边界条件为在内圆边界：r=r₁处：T=T₁，在外圆边界：r=r₂处：T=T₂，试用有关的Bessel函数给出上述问题的通解并说明如何由边界条件确定通解中的任意常数。

求以下变系数方程的级数解：

O₂和CO₂在生物组织中的传递过程对于呼吸作用和光合作用具有根本的重要性。在生物组织中，溶解在液体（血液、组织液）中的O₂通过渗透与扩散两种机制输送到组织内部供细胞呼吸，研究表明，在某一临界溶氧浓度c以上，单位体积的氧消耗速率为常数，设为q，因此，对于厚度为l的一片组织，代谢过程中氧的衡算方程为
式中U为液体渗透流率，D为溶氧扩散系数。设该组织外部的溶氧浓度为常数，则边界条件可表示为X=0，X=1，C=C₀试求出溶氧浓度沿组织厚度方向的分布，据此判断氧浓度在何处达到最小值？渗透速率U需满足什么条件才能保证在组织内部不会出现缺氧的情况（c（x）>c）？

电极加热炉中石墨电极棒的传热问题可用以下方程描述式中D，U，A，T₀均为常数，但导热系数kT为温度的线性函数，kT=k₀-T，试求出上述方程的通解。

求以下微分方程的解

在一鼓泡容器内，初始时刻装有体积为V的氨盐水（NH₃－NaCl－H₂O），随后以流量F通入CO₂气体，在液相中即发生以下碳酸化反应
这是制取纯碱（Na₂HCO₃）的基本反应，是一个连串反应过程。其中反应（1）为快速反应，发生在气液界面附近的液膜之内，而反应（2）、（3）为慢反应，发生在液相本体之中。设各步反应均为拟一级反应，其中NH₃和Na大大过量，其浓度可近似考虑为常数。容器中的气含率ε、气液比表面积aV和液膜厚度δ均为已知量，液膜体积aVδ<<1，试分别对液膜和液相本体导出该反应过程的数学模型，给出分批式和连续式两种操作情况下的反应器模型。

填料塔广泛用于气体吸收，气液两相采用逆流操作，液体从塔顶均布后加入，沿填料表面成液膜下降，气体从塔底加入，沿塔上升并与液体实现逆流接触，气体中的活性组分被液体吸收后从塔底流出，净化后的气体从塔顶排出，如图所示。设从塔底加入的气体中含有待吸收组分A和惰性气体，惰气流量为G（mol/s），从塔顶加入的液体惰性溶剂的流量为L（mol/s），组分A在液相中以一级反应进行分解，给定塔的直径D和塔高H、单位体积填料的液体持液量L（m³/m³）和气液传质系数kLa，以及化学反应速率常数kA、气液相Henry系数HA，试用微元分析法建立一数学模型，描述气相浓度yA（mol/mol惰气）和液相浓度xA （mol/mol溶剂）的沿塔分布，然后从模型中消去xA，得到yA的单一方程，并给出适当的边界条件。

气液两相的传质过程与色谱过程有许多类似之处，例如，气相通过反应器（鼓泡塔、板式塔、填料塔等）的流动可以看成是溶质通过固定相的运动，气液传质阻力可类比于气固传质阻力，气液两相的逆流操作模式也与移动床相似。此外，气液两相在界面上处于平衡状态，由Henry定律表述，与§7.2节考虑的微孔分子筛的内扩散过程类似。与色谱问题不同的是，许多气液反应器（鼓泡塔与搅拌釜）中的液相或液固两相一般都处于全混流状态，而色谱柱中固定相是静止的，移动床中固体接近平推流。试根据与移动床的类比建立如图所示的鼓泡塔反应器的稳态数学模型，图中气体从塔底加入，经分布器之后形成分散的气泡并在液体中浮升，最后从容器的上部输出；液体则从塔顶加入，从底部流出。气相中的组分A被液体吸收后在液相中发生一级化学反应。鼓泡塔中气相的流动可考虑为平推流，液相考虑为全混流。其它已知的参数为：鼓泡塔液位高度l，气含率εg，空塔气速U，加入液体的质量流率F，单位体积气液传质系数kLa，一级反应动力学常数KA，Henry系数HA。所建立的数学模型要求包括以下内容：
（1）设cg和cL分别为反应组分在气相和液相中的浓度，给出其方程和边界条件；  
（2）如果是强放热反应，反应热通过溶剂蒸发和气液相的连续流动移出，请自行设定有关物性参数，给出温度T满足的方程。

在水平液面上垂直插入一个半径为R的毛细管，此时液体将在表面张力的拉动下沿着管中上升。弯曲液面形成的毛细压强可以用以下Yong－Laplace方程计算式中σ为气液表面张力，θ为气液界面与固壁之间的接触角，管中流体一方面受到毛细压强的驱动而上升，一方面又受到重力和粘性阻力的作用，设流动速度遵从粘性管流的Poiseuille分布，求：
（1）对于两端开口的毛细管，证明液位高度H随时间t的变化满足以下方程式中μ为液体的动力学粘度，ρg为重力。 
（2）对于上端封闭的毛细管，设总管长为l，管内气体满足理想气体状态方程，试推导相应的液位高度H的变化方程。 
（3）从上述方程中求出最大液位高度H和时间变化关系H（t），据此讨论H变化的趋势。

人体在自由空间中的射流形成一个夹角为α的圆锥型区域，如图所示，设U＝U（x）为距喷口x处的平均流速，R＝R（x）为x处的射流半径，试根据总动量pU²R²沿x方向守恒的要求确定速度U和射流区总流量Q=UR²沿x的变化关系（可相差一个常数）。

烯烃在Zieglar－Natta催化剂颗粒上的气相聚合过程可用最简单的固体核模型来描述，如附图所示。气相中的烯烃单体在催化剂颗粒（图中阴影部分）表面聚合后生成一多孔的固体聚合物壳层并将催化剂包裹在内部，外部的气相烯烃单体只有扩散穿过此固体聚合物壳层后才能到达催化剂表面参与反应。试求：
（1）证明单体在壳层中的扩散及聚合物粒子的生长由以下方程描述式中M为单体浓度（mol/m³），ρs为聚合物壳层的密度（kg/m³），D为单体在壳层中的扩散系数（m²/s），MW为单体的分子量，R为聚合物颗粒的半径。
（2）设催化剂核半径为rc，单体在外部气相本体中的浓度为MB，以上述参量为r和M的特征尺度，并引入适当的时间尺度，将上述方程无量纲化。然后根据气相单体与固体聚合物密度之间的巨大差别（ρs/ρg ~10³）将问题进一步简化。
（3）设单体在催化剂核表面的浓度恒为0（瞬时反应），R的初始值为R0（R0>rc），求解上述简化后的模型并给出聚合物粒子半径R随时间的变化关系。