河口附近涨潮后形成水位h的梯级分布落潮时的水位遵循以下方程请描述水位h在落潮时的衰减过程。

变截面色谱柱中的线性吸附曲线由以下方程表述式中，流量为截面积，若定义以下无量纲变量则可将方程化为以下形式现考虑环形平面区域的色谱过程，r₀为溶质注入端的环形边界半径，设问题为圆对称，初始浓度为0，注入的溶质浓度为常数c₀，请在r-t平面上绘出边值影响区的特征线，并讨论截面积A（r）的变化对波在r方向传播的影响。

在固定化酶反应器中，生物活性细胞被制备成颗粒状填充于固定床中，反应动力学由Michaelis-Menten方程给出，设流动为平推流，初、边值由c（x，O）=f（x），c（O，t）=g（t）给出，求浓度分布c=c（x，t）。

求下列问题的解：

求下列方程的通解：

在釜式反应器的热稳定性问题中，如果采用控制装置来对移热过程进行自动调节，就有可能把一个本来不稳定的反应器状态变成稳定状态。设控制装置对反应器增加了一个正比于温度偏差的移热速率，使得总的移热速率成为试给出相应条件下釜式反应器的热稳定性在何种情况下系统只存在唯一且稳定的稳态解。

发生在催化剂颗粒上的放热反应总是与传热相互耦合，从而导致多重稳态的产生和相关的稳定性问题，CO在铂催化剂表面的氧化反应曾被作为一个典型的体系而得到广泛的研究。现考虑CO在铂金属丝表面的氧化，相应的质量与热量衡算方程可表示为试从上述方程出发，在稳态解附近作线性近似，导出相关的稳定性判据。

对于可逆反应A、B，反应的转化率由于受到化学平衡的限制而难以提高，采用反应分离耦合操作的方法就可以打破这一限制。设在一催化剂颗粒内部发生上述双组分可逆反应，同时也筛选出了某种吸附剂，使得A、B的吸附性能呈现较大差别，这样，我们就可以将催化剂与吸附剂掺混，然后采用逆流移动床来实现反应分离耦合操作。设吸附等温线为线性，反应关于固相浓度为一级，忽略颗粒内外的传质阻力和床层返混，则逆流移动床数学模型由以下方程描述式中，c和n分别表示流体和固体相的浓度，分别为流体和固体的运动速度，求： 
（1）解上述方程，给出浓度A、B的沿塔分布。 
（2）如果令，则二者分别表示床层任一截面上组分A、B的净流率。研究表明，只有当qA和qB的方向相反时，才能实现A、B的分离，此时边界上的间断条件表述为式中上标“＋”与“－”分别表示塔顶和塔底边界外部的值，根据上述条件确定流体相和固体相的出口浓度。 
（3）如果取以下参数计算相关的浓度分布并作图考察各参数变化的影响。

不同形状的催化剂颗粒上的反应-扩散问题可用以下方程描述

式中s为颗粒的形状指数，s=0为片形，s=1为长圆柱形，s=2为球形，D为内扩散系数，k为一级反应速率常数，h_m为外表面传质系数，c_b为流体相本体浓度。
（1）选择适当的特征尺度将问题无量纲化； 
（2）分别求取s=0，1，2时的粒内浓度分布；
（3）求催化剂有效系数与Thiele模数和Biot数之间的关系，并讨论这两个参数对的影响趋势。

设为矩阵A的特征值，试根据特征向量方程（2.4.6）证明Sylvester定理（2.5.24） 。

如图所示，两相互联接的搅拌釜中装有体积分别为V₁和V₂的溶液，初始时刻釜中溶质浓度分别为y₁₀与y₂₀，从t=0开始，两釜中的溶液以流量q通过管道泵送而相互交换，管道体积可以忽略，求两釜中的溶质浓度随时间的变化关系。

对于系数矩阵请用下述方法求矩阵函数expAt。
（1） 待定系数法； 
（2） lagrange插值法。

用矩阵解法求以下一阶线性微分方程组的通解，并将通解用实函数表示。

环形法兰上的散热问题可用以下方程描述式中k和h分别为法兰的导热系数和向周边环境的传热系数，T₀为环境温度。边界条件为在内圆边界：r=r₁处：T=T₁，在外圆边界：r=r₂处：T=T₂，试用有关的Bessel函数给出上述问题的通解并说明如何由边界条件确定通解中的任意常数。

求以下变系数方程的级数解：

O₂和CO₂在生物组织中的传递过程对于呼吸作用和光合作用具有根本的重要性。在生物组织中，溶解在液体（血液、组织液）中的O₂通过渗透与扩散两种机制输送到组织内部供细胞呼吸，研究表明，在某一临界溶氧浓度c以上，单位体积的氧消耗速率为常数，设为q，因此，对于厚度为l的一片组织，代谢过程中氧的衡算方程为
式中U为液体渗透流率，D为溶氧扩散系数。设该组织外部的溶氧浓度为常数，则边界条件可表示为X=0，X=1，C=C₀试求出溶氧浓度沿组织厚度方向的分布，据此判断氧浓度在何处达到最小值？渗透速率U需满足什么条件才能保证在组织内部不会出现缺氧的情况（c（x）>c）？

电极加热炉中石墨电极棒的传热问题可用以下方程描述式中D，U，A，T₀均为常数，但导热系数kT为温度的线性函数，kT=k₀-T，试求出上述方程的通解。

求以下微分方程的解