证明：内积空间X中两个向量x，y垂直的充要条件是：对一切数α，成立||x+αy||≥||x||。

设X是n维线性空间，{e₁，e₂，...，e_n}是X的一组基，证明成为x上内积的充要条件是存在n*n正定方阵A=(a_μv)，使得

设X₁,X₂,...,X_n,...是一列内积空间，令

当{x_n},{y_n}∈X时，规定α{x_n}+β{y_n}={αx_n+βy_n},其中α，β是数，

证明：X是内积空间，又当X_n都是Hilbert空间时，证明X也是Hilbert空间