设环R的元素有一个分类，包含元素x的类用[x]表示，而S是所有这些类作成的集合．证明：如果
[x]+[y]=[x+y]及[x][y]=[xy]
是S的两个代数运算，则[0]是环R的一个理想，且所给的一个类恰好是关干理想[0]的一个陪集．

设Z[i]是Gauss整环，即
Z[i]={a+bi∣a，b∈Z}，
其中Z是整数环，问：商环Z[i]/（1十i）有多少个元素？是否为域？

设C_n=〈a〉为n阶循环群，Z_n^*为模n剩余类环Z_n的单位群.证明：
AutC_n≌Z_n^*；
再由此利用数论结论证明：
AutC_n是循环群⇔n为2，4，p^k，2p^k（p为奇素数）.

设R是一个正则环．证明：若R中元素a对R中任意元素都存在b∈R使
ax+b+axb=0，
则a=0.