证明对于周期边界条件 y（a）=y（b），y’（a）=y’（b）由方程（4.3.7a）所确定的特征函数在[a，b]内是带权ρ（x）正交的。

将以下特征值问题化为sturm－Liouville方程的规范形式，并求出特征值和特征函数。

在一降膜反应器中，液膜在重力下沿固壁表面向下流动，吸收气相中的反应组分并在液相中进行一级化学反应，参见图。设膜内流速分布由下式给出（此处y＝0为气液界面）则膜内反应物的浓度分布由以下方程描述中δ为膜厚，D为反应物在液相中的扩散系数，k为一级反应速率常数。边界条件为试导出上述问题的特征值问题，判断特征值和特征函数是否存在，给出其正交性定义。假设特征函数Y_n（y）为已知，试给出膜内浓度分布c（x，y）的级数形式的解，并给出其中系数的计算公式。

解下列矩形域的拉普拉斯方程定解问题。