共用题干题

设（X，‖‖）是赋范空间，Y是X的子空间，对于x∈X，令δ=d（x，y）=‖x-y‖，如果存在y₀∈Y，使得‖x-y₀‖=δ称y₀是x的最佳逼近

证明：如果Y是X的有穷维子空间，则对每一x∈X，存在最件逼近。

设X是区间[a，b]上所有连续函数按照通常方式定义线性运算所成的线性空间对于x∈X，定义‖x‖=|x（t）|；...

问答题

设X是区间[a，b]上所有连续函数按照通常方式定义线性运算所成的线性空间对于x∈X，定义‖x‖=|x（t）|；‖x‖₁=|x（t）|dt。证明：‖‖和‖‖₁是X上两个不等价的范数。

设（x1，‖‖1），（x2，‖‖2）是赋范空间，在乘积线性空间x1*x2中定义‖z‖1=‖x1‖1+‖x2‖2...

问答题设（x₁，‖‖₁），（x₂，‖‖₂）是赋范空间，在乘积线性空间x₁*x₂中定义‖z‖₁=‖x₁‖₁+‖x₂‖₂，‖z‖₂=max（‖x₁‖₁，‖x₂‖₂），其中z∈X₁*X₂，z=（x₁，x₂）证明‖z‖₁，‖z‖₂，是X₁*X₂上的等价范数。

设E是直线上的Lebesgue可测集，且mE＜∞用‖‖p表示Lp（E）（p≥1）的范数，‖‖∞表示L∞（E）的...

问答题

设E是直线上的Lebesgue可测集，且mE＜∞用‖‖_p表示L^p（E）（p≥1）的范数，‖‖_∞表示L^∞（E）的范数，证明：对于每一x∈L^∞(E),‖x‖_p=‖x‖_∞。