计算题

设三维随机变量（𝜉，𝜂，𝜁）的密度函数如下，试证明𝜉，𝜂，𝜁相互独立.（注：题目中𝜋²应是𝜋³）.

设（，）的分布函数分别为（，），（，）.证明：与相互独立的充要条件是（，）（或者（，））可分离变量，即（，）=...

问答题设（𝜉，𝜂）的分布函数分别为𝐹（𝑥，𝑦），𝑝（𝑥，𝑦）.证明：𝜉与𝜂相互独立的充要条件是𝑝（𝑥，𝑦）（或者𝐹（𝑥，𝑦））可分离变量，即𝑝（𝑥，𝑦）=𝑔（𝑥）ℎ（𝑦），并回答𝑔（𝑥），ℎ（𝑦）与边际密度函数有什么关系：并以此判断前面几题的中随机变量的独立性.

设二维随机变量（，）的密度函数如下，问，是否相互独立.

问答题

设二维随机变量（𝜉，𝜂）的密度函数如下，问𝜉，𝜂是否相互独立.

证明：若随机变量与自己独立，则必有常数，使（=）=1.

问答题证明：若随机变量𝜉与自己独立，则必有常数𝐶，使𝑃（𝜉=𝐶）=1.