计算题 设f：A→B是映射，其中|A|=|B|＜∞证明以下三条等价（i）f是单射；（ii）f是满射；（iii）f是双射；条件“|A|=|B|＜∞”是必要的吗？为什么？

设I，J是环R的理想，假设R=I+J且I∩J={0}（此时称R是I和J的内直和），证明：R≌I⊕J

问答题设I，J是环R的理想，假设R=I+J且I∩J={0}（此时称R是I和J的内直和），证明：R≌I⊕J

设f是R到环R′的满同态，I′是环R′的一个理想，证明：f-1（I′）是R的理想且R/f-1（I′）≌R′/I...

问答题设f是R到环R′的满同态，I′是环R′的一个理想，证明：f^-1（I′）是R的理想且R/f^-1（I′）≌R′/I′

如果f：A→B和g：B→C都是可逆映射，那么gf是可逆映射且（gf）-1=f-1g-1。

问答题如果f：A→B和g：B→C都是可逆映射，那么gf是可逆映射且（gf）^-1=f^-1g^-1。