简答题

试求出三次对称群
S₃={（1），（12），（13），（23），（123），（132）}
的所有子群.并利用Lagrange定理说明理由.

设G是群，K≤H≤G、又A={a1，a2，...}与B={b1，b2，...}分别为G关于H和H关于K的左陪集...

问答题

设G是群，K≤H≤G、又A={a₁，a₂，...}与B={b₁，b₂，...}分别为G关于H和H关于K的左陪集代表系，证明：
AB={a_ib_j∣a_i∈A，b_j∈B}
是G关于K的一个左陪集代表系.

证明：pm（p是素数，m是正整数）阶群G必含有P阶元，而且P阶元的个数是p-1的倍数.

问答题证明：p^m（p是素数，m是正整数）阶群G必含有P阶元，而且P阶元的个数是p-1的倍数.

设H，K分别为群G的两个m与n阶子群．证明：若（m，n）=1，则H∩K={e}.

问答题设H，K分别为群G的两个m与n阶子群．证明：若（m，n）=1，则H∩K={e}.