共用题干题设R是一个环，T是R的理想； 证明：若J是R的理想，则（I+J）/I≌J/（I∩J）

设f是环R到环R′的同构，证明：f-1是环R′到环R的同构。

问答题设f是环R到环R′的同构，证明：f^-1是环R′到环R的同构。

设A、B是非空集合，设f：A→B是映射。证明： f是单射，当且仅当存在g：B→A使得gf=idA。

问答题

设A、B是非空集合，设f：A→B是映射。证明：
f是单射，当且仅当存在g：B→A使得gf=id_A。

设f是环R到环R′的同态，证明：Ker（f）是R的理想。

问答题设f是环R到环R′的同态，证明：Ker（f）是R的理想。