简答题 设（R，+，.）是一个有单元1的环，对于任意的a，b∈R，令a⊕b=a+b-1，a☉b=a+b-a*b。证明：⊕和☉是R上的两个代数运算且关于加法⊕和乘法☉也构成一个有单位元的环。

考虑实数域R上的向量空间R2（对应于2维欧氏平面）。 （1）在R2上定义关系“~”对向量α，β∈R2称α~β如...

问答题

考虑实数域R上的向量空间R²（对应于2维欧氏平面）。
（1）在R²上定义关系“~”对向量α，β∈R²称α~β如果存在r∈R使得rα=β。“~”是R²的等价关系吗？为什么？
（2）R²上的关系“~”同上，对α∈R²记|α|={β∈R²|β~α}。幂集p（R²）的子集{[α]|α∈R²}是集合R²的划分吗？为什么？
（3）令A=R²-{0}所有非零向量的集合，如同（1）定义“~”对任α，β∈A称α~β如果存在非零r∈R使得rα=β证明：“~”是A的等价关系，并求商集A/~（即求出等价关系~给出的划分）。

设R是一个环，假设（R，+）是一个循环群，证明：R是交换环。

问答题设R是一个环，假设（R，+）是一个循环群，证明：R是交换环。

设R是有单位1的环，n是正整数，形如，其中aij∈R，i，j=1，2，...，n，的表格称为环R上的n*n矩阵...

问答题

设R是有单位1的环，n是正整数，形如，其中a_ij∈R，i，j=1，2，...，n，的表格称为环R上的n*n矩阵（或n阶方阵），令M_n（R）是环R上的所有n*n矩阵构成的集合，完全类似于数域上矩阵，可以定义环上的矩阵的加法和乘法，证明：M_n（R）关于矩阵的加法和乘法构成一个环，记M_n（R）中单位为I_n，对A∈M_n（R），如存在B∈M_n（R），使得AB=BA=I_n，则称A是可逆的，称B是A的一个逆矩阵，证明：若A可逆，则其逆是唯一的，记A的逆矩阵为A^-1。