设N是环R的一个理想.证明：如果N有单位元，则N是R的一个直和项，即存在R的理想N’使
R=NN’.

设环R是环R₁，R₂，...，R_n的直和，即
R=R₁R₂...R_n.
证明：φ_i：a₁+...+a_i+...+a_n→a_i是R到R_i的同态满射（称为正则投射），且

其中0是零同态，ε是R的恒等变换．

设Z₂={0，1}，且
R={（a₁，a₂，...，a_n）∣a_i∈Z₂}.
即R是n个环Z₂的外直和.证明：R是一个布尔环.又R的特征为何？

设环R=R₁R₂...R_n.证明：环R有单位元当且仅当每个理想R_i有单位元．并且
l=l₁+l₂+...+l_n，
其中l是R的单位元，l_i是R_i的单位元．