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设R是一个有单位元的环，a与b是R的单位（即可逆元）.证明：若有二互素的整数m和n使
a
m
=b
m
，a
n
=b
n
，
则必a=b.
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问答题
设R是一个有单位元的环.如果R中元素a，b有ab=1，则称b是a的一个右逆元，而称a是b的一个左逆元．证明卡普兰斯基（I.Kaplansky）定理：设R是一个有单位元（用1表示）的环，如果R中元素a有一个以上的右逆元，则a必有无限多个右逆元．
问答题
设R是一个有单位元（用1表示）的环，a，b∈R.证明：如果1+ab在R中有逆元，则1+ba在R中也有逆元．
问答题
证明：若e是环R的惟一的左单位元，则e必是R的单位元．
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