简答题

设a是群G中一个阶为m₁m₂...m_n的元素.证明：若正整数m₁，m₂，...，m_n两两互素，则a可惟一表示为
a=a₁a₂...a_n，
其中a_i都是a的方幂（从而可两两互换）且
∣a_i∣=m_i（i=1，2，...，n）.

若n次置换π是a1个1-循环、a2个2-循环、...、an个n-循环（不相连循环且每个数码都出现）之积，则称π...

问答题

若n次置换π是a₁个1-循环、a₂个2-循环、...、a_n个n-循环（不相连循环且每个数码都出现）之积，则称π有循环结构
[1^a₁，2^a₂，...，n^a_n].
证明．二n次置换σ与τ在S_n中共轭的充分与必要条件是σ与τ有相同的循环结构.

证明：当n≥5时，n次交代群An是一个单群，即其正规子群只有{（1）}及An。

问答题证明：当n≥5时，n次交代群A_n是一个单群，即其正规子群只有{（1）}及A_n。

证明：当n≥3时，全体3-循环是交代群An的一个生成系．

问答题证明：当n≥3时，全体3-循环是交代群A_n的一个生成系．