设x是賦范线性空间，X*X为两个X的笛卡儿乘积空间，对每个（x，y）X*X，定义

则X*X成为賦范线性空间。证明X*X到X的映射：（x，y）→x+y是连续映射

设X₁,X₂...是一列Banach空间，x={x₁,x₂,...,x_n,...}是一列元素，其中x_nX_n,n=1,2,...,并且，这种元素列的全体记成X,类似通常数列的加法和数乘，在X中引入线性运算，若令
证明：当p≥1时，X是Banach空间

设V[a,b]表示[a,b]上右连续的有界变差函数全体，其线性运算为通常函数空间中的运算,在V[a,b]中定义范数||x||=|x(a)+|，证明V[a,b]是Banach空间

设a_jk,j,k=1,2,...,n为一组实数，适合条件（a_ij-δ_ij）²＜1，其中δ_ik当j=k时为1，否则为0。

证明：代数方程组

对任何一组固定的b₁,b₂,...,b_n,必有唯一的解x₁,x₂,...,x_n。