设X₁,X₂...是一列Banach空间，x={x₁,x₂,...,x_n,...}是一列元素，其中x_nX_n,n=1,2,...,并且，这种元素列的全体记成X,类似通常数列的加法和数乘，在X中引入线性运算，若令
证明：当p≥1时，X是Banach空间

设V[a,b]表示[a,b]上右连续的有界变差函数全体，其线性运算为通常函数空间中的运算,在V[a,b]中定义范数||x||=|x(a)+|，证明V[a,b]是Banach空间

设a_jk,j,k=1,2,...,n为一组实数，适合条件（a_ij-δ_ij）²＜1，其中δ_ik当j=k时为1，否则为0。

证明：代数方程组

对任何一组固定的b₁,b₂,...,b_n,必有唯一的解x₁,x₂,...,x_n。

设A为从完备度量空间X到y中映射，若在开球U（x₀，r）（r>0）内适合
d（Ax，Ax’）≤θd（x，x’），0＜θ＜1
又A在闭球S（x₀，r）={x|d（x，x₀）≤r}上连续，并且
d（x₀，Ax₀）≤θ（1-θ）r
证明：A在S（x₀,r）中有不动点