问答题

共用题干题

设R为环，e是R的一个幂等元．又令
R（1-e）={r-re∣r∈R}，（1-e）R={r-er∣r∈R}，（1-e）R（1-e）={r-re-er+ere∣r∈R}.（R不一定有单位元）证明：

R（1-e），（1-e）R分别为环R的左、右理想.

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问答题

设n₁，n₂，...，n_s，是s个两两互素的正整数.证明：剩余类环Z_{n₁n₂...n_s}与Z_n₁，Z_n₂，...，Z_{n_s}的外直和Z_n₁Z_n₂...Z_{n_s}同构.

问答题

设N是环R的一个理想.证明：如果N有单位元，则N是R的一个直和项，即存在R的理想N’使
R=NN’.

问答题

设环R是环R₁，R₂，...，R_n的直和，即
R=R₁R₂...R_n.
证明：φ_i：a₁+...+a_i+...+a_n→a_i是R到R_i的同态满射（称为正则投射），且

其中0是零同态，ε是R的恒等变换．