设C为一切收敛数列所组成的空间，其中的线性运算与通常序列空间相同，在C中令||x||=sup|x_i|,x={x_n}∈C，证明C是可分的Banach空间

设Λ是实（复）数域，X为赋范线性空间，对每个（α，x）∈Λ*X，定义

则（α，x）→αx为Λ*X到X中的连续映射。

设x是賦范线性空间，X*X为两个X的笛卡儿乘积空间，对每个（x，y）X*X，定义

则X*X成为賦范线性空间。证明X*X到X的映射：（x，y）→x+y是连续映射

设X₁,X₂...是一列Banach空间，x={x₁,x₂,...,x_n,...}是一列元素，其中x_nX_n,n=1,2,...,并且，这种元素列的全体记成X,类似通常数列的加法和数乘，在X中引入线性运算，若令
证明：当p≥1时，X是Banach空间